福岡大学 一般選抜 出題傾向 数学

傾向と対策の概要

試験形式の安定性と構成

2018年度から2025年度まで、試験形式は極めて安定しています。

出題分野や出題テーマの傾向

特定の分野が毎年高い頻度で出題されています。

微分積分 (Calculus)

• 記述問題[III]の最重要テーマです。
• 面積や極値を求める問題が頻出であり、指数関数、対数関数、三角関数を含む複雑な関数の扱いが求められます。
• 定積分では、部分積分の繰り返し適用や、置換積分、部分分数分解を利用した積分（例：$\int \frac{1}{t^2-1} dt$ や $\int \frac{1}{\cos x} dx$）が頻繁に問われます。
• 媒介変数表示された曲線に関する問題（極値、面積）も複数回出題されています (2020, 2022)。

確率・統計 (Probability and Statistics)

• 小問集合で毎年欠かさず出題される傾向があります。
• 統計: 分散、標準偏差、共分散、偏差値、中央値の計算（2018, 2019, 2020, 2024, 2025）。特に偏差値を計算させる問題（2019）や、中央値を考慮してデータセットを分析する問題（2024, 2025）が見られます。
• 確率: じゃんけんの勝ち残り確率（2022）や、さいころの最大値に関する条件付き確率（2023）、札の取り出し確率の最大値（2024）など、応用的な確率計算が問われます。

ベクトルと図形 (Vectors and Geometry)

• 空間ベクトルが多く出題されています。原点からの垂線の足の座標（2022）、平面上の点に関する対称な点の座標や最短経路（2023）、四面体内の点に関する問題（2025）など、図形的な考察を伴う問題が多いです。
• 平面ベクトルでは、正六角形（2021）や三角形の内分点・中点と直交条件（2024）など、幾何学的な知識とベクトルの表現力が試されます。

その他 (Other Topics)

• 複素数: 円（アポロニウスの円）の軌跡（2020）。
• 整数問題: 約数の個数、素因数分解、N進法（2018, 2019, 2020, 2021）。特に2020年の二項定理の係数に含まれる素因数2の個数を求める問題は、ガウス記号の知識を要する典型的な応用問題です。
• 無限級数・数列: 漸化式からの一般項導出と和（2019, 2025）、無限等比級数の収束条件と和（2023）。

特徴的な傾向

煩雑な計算と高い精度要求

対数不等式の複雑な条件処理

対数を含む不等式（2022, 2023）は、底と真数の条件、さらに底の値による不等号の向きの変化（$0 < y < 1$ か $y > 1$ か）を正確に処理する必要があり、図形的な考察も必要となります。

減衰曲線とその面積

2021年の記述問題では $f(x)=e^{-x}\sin x$ のような減衰曲線が題材となり、無限等比級数の和として面積の極限値を求める問題が出題されています。これは物理現象とも関連付けられる典型テーマであり、その解法（$I_k = |\int f(x)dx|$ が等比数列になる）を熟知しているかが問われます。

対策

微分積分の徹底対策

• 計算練習: 部分積分、置換積分、分数関数の積分（部分分数分解）のテクニックを自在に使えるように訓練します。
• 媒介変数表示: 媒介変数表示された曲線の増減、グラフの概形、面積の計算手順（特に $x$ が単調減少する場合の符号の変化）に慣れておくことが重要です。

統計の定型問題の習熟

• 分散、共分散、偏差値の定義式を正確に理解し、文字を含むデータの計算に慣れておく必要があります。

標準的な難問への対応力

• 空間ベクトルにおける垂線の足や最短経路（反射原理）、複素数平面における軌跡（アポロニウスの円）など、頻出する発展的なテーマについては、解法の原理を理解し、実際に手を動かして解答を作成する練習が必要です。

記述対策（[III]への注力）

• 記述形式の問題[III]は配点が高く、完答が合否を分けます。特に微積分では、増減表やグラフの概形を示すなど、論理的な流れを整えて解答する練習を徹底します。