東京医科大学 一般選抜 出題傾向 数学

傾向と対策の概要

試験形式の安定性と構成

試験形式の安定性

試験時間は2018年度から一貫して60分です。大問数は、2019年度に4題に落ち着いて以降、2020年度から2025年度にかけて大問4題が定着し、安定しています。

解答形式の構成

試験形式の大きな変化

最も大きな変化は、2020年度入試における完全マークシート方式への移行です。

• 大問数の減少（2019年度）: 2018年度の5題から、2019年度は4題構成に戻りました。
• 記述式の廃止（2020年度以降）: 2019年度までは、合成関数の結合法則の証明や、極方程式の曲線を描く問題のように記述が必要な問題が出題されていましたが、2020年度以降、記述式の出題はなくなりました。これにより、解答のプロセスよりも結果の正確性が重視される形式へと完全に移行しました。

出題分野や出題テーマの傾向

1. 微積分（微分・積分・関数）

最重要分野であり、ほぼ毎年、出題の中核を占めます。

• 応用的な知識の要求: 単なる計算ではなく、平均値の定理を用いた不等式の証明や極限の問題（2020, 2023）、逆関数や合成関数の導関数（2020, 2024）など、概念的な理解が問われます。
• 図形と回転体の体積: 積分計算の複雑な問題が多く、回転体の体積（2020, 2024, 2025）や、定積分における絶対値の処理（2025）が出題されています。
• 特殊な微積分: 対数微分（2018）や、媒介変数表示された動点の速度・加速度・道のり（2022）など、幅広いテーマをカバーしています。

2. ベクトル・幾何

空間ベクトルが多く、幾何的な考察を要する問題が出題されています。

• 空間図形と体積: 四面体や平行六面体の体積（2023）、球面と平面の関係（2024）、回転体の体積（2025）。
• 最小値問題: ベクトルの大きさの最小値に相加・相乗平均の関係を利用する問題（2021）が特徴的です。

3. 確率・代数・複素数・整数

毎年、確率、代数、複素数から最低1題は出題されます。

• 確率: 条件付き確率（2020, 2022, 2023）が頻出です。2023年度には、感染症検査に関する典型的な条件付き確率の問題が出題されました。
• 代数（方程式）: 4次の相反方程式（2021）や、特殊な4次方程式の解と係数の関係（2022）がテーマとなっています。
• 複素数: ド・モアブルの定理を用いた桁数の問題（2019）や、正の実数となる条件（2023）、偏角の計算（2024）が出題されています。2025年度には1の5乗根を利用する問題が出ました。
• 整数問題・離散数学: 正多角形の頂点から作られる図形の個数（2024）、オイラーの多面体定理（2021）、桁数（2025）など、標準的な範囲を超えたテーマが出されることがあります。

特徴的な傾向

• 非標準的な題材の採用: 教科書で深く扱われないテーマがしばしば出題されます。
  • 極方程式（2018）
  • 正十二面体に関する幾何とベクトル（2022）
  • 特殊な漸化式と三角関数の周期性（2018）
• 知識の定義への回帰: 表面的な解法ではなく、数学の基本的な定義や法則（合成関数の定義、平均値の定理、逆関数の意味）を理解しているかを問う問題が含まれます。
• 計算量の多さ: 60分という短い時間設定に対し、微積分や代数分野で計算量が非常に多い問題が出されるため、迅速かつ正確に処理する能力が合否を分ける大きな要因となります。

対策

• 計算力の徹底強化: 全問マーク式であり、途中の計算ミスは即座に失点につながります。微積分、連立方程式、解と係数の関係など、計算の煩雑な分野について、時間計測を行いながら、解答を最後まで正確に導き出す訓練を徹底してください。
• 主要分野の応用対策:
  • 微積分: 逆関数、平均値の定理、回転体の体積（特に軸の周りの回転や複雑な関数）の応用問題を重点的に演習し、解法の引き出しを増やしましょう。
  • 確率: 条件付き確率、特にベイズの定理的な設定を含む問題（2023年の検査問題など）を確実にマスターしてください。
• 代数・複素数の準備: 4次の相反方程式（2021）や複素数平面におけるド・モアブルの定理（2019, 2023, 2024）など、出題が固定化しているテーマは徹底的に準備が必要です。
• 過去問を用いた時間配分の確立: 60分で大問4題を解くためには、どの問題に時間を割き、どの問題を見送るかの判断力が重要です。過去問を解く際は、本番と同様に60分で実施し、時間戦略を確立することが非常に有効です。